Pengertian Himpunan ~ AYO BERMATEMATIKA

Himpunan

Materi Himpunan

Definisi Himpunan

Himpunan (set) didefinisikan sebagai kumpulan atau koleksi objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined). Makna “objek” dalam definisi tersebut sangat luas. Objek dapat berupa objek nyata dan dapat juga berupa objek abstrak. Objek dapat berbentuk orang, nama orang, hewan, benda, bilangan, planet, nama hari, atau lainnya. Makna “terdefinisi dengan jelas” adalah ciri, sifat, atau syarat objek yang dimaksud sangat jelas dan dapat ditentukan. Dalam arti yang sederhana, dapat dikatakan bahwa jika kita diminta menunjukkan salah satu anggotanya, maka kita dapat menyebutkannya. Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut unsur atau anggota himpunan.

Dalam kasus tertentu, suatu kumpulan objek-objek bukan merupakan himpunan meskipun menggunakan kata himpunan. Sebagai contoh, himpunan buku-buku tebal. “Himpunan buku-buku tebal” memuat kata himpunan, tetapi bukan himpunan karena objeknya tidak jelas. Buku dikatakan tebal jika jumlah halamannya berapa? Apakah tebal itu jika memuat 100, 500, 1000, atau 1000000 halaman?

Untuk mempermudah pemahaman, berikut ini merupakan contoh himpunan

(1) Kumpulan nama-nama hari dalam satu minggu.

(2) Kumpulan huruf Hijaiyah.

(3) Kumpulan hewan berkaki empat.

(4) Kumpulan alat transportasi darat.

(5) Kumpulan malaikat Jibril, Mikail, Isrofil, Azrail, Munkar, Nakir, Raqib, Atid, Malik, dan Ridwan.

(6) Kumpulan huruf x, y, dan z.

Objek-objek yang disebutkan pada masing-masing contoh adalah jelas. Seseorang dapat menentukan dengan mudah anggota himpunan tersebut.

Berikut ini bukan merupakan himpunan, meskipun menggunakan kata himpunan.

(1) Himpunan orang berambut pendek.

(2) Himpunan orang cantik.

(3) Himpunan buku tipis.

(4) Himpunan sapi gemuk.

(5) Himpunan bilangan kecil.

Pada contoh (1) sampai (5) ini, definisi pendek, cantik, tipis, gemuk dan kecil tidak terdefinisi dengan jelas atau tidak ada kriteria umum yang disepakati bersama.

Simbol Himpunan dan Keanggotaan Suatu Himpunan

Himpunan disimbolkan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, atau D, sedangkan anggota himpunan disimbolkan dengan huruf kecil (lowercase letters), seperti a, b, c, atau d.

Jika a adalah anggota himpunan A, maka ditulis

a Î A.

Jadi, perlu dipahami bahwa tulisan a Î A mempunyai arti bahwa a anggota himpunan A, a unsur himpunan A, A memuat a, atau a termuat di A. Jika a bukan anggota himpunan A, ditulis

a Ï A.

Sebagai contoh, misalkan A adalah himpunan huruf vokal dalam alfabet. Maka A akan memuat huruf a, i, u, e, o. Jadi, dapat kita nyatakan a, i, u, e, o Î A. Karena b tidak termuat di A maka kita tulis b Ï A.

Simbol simbol himpunan

Menyatakan Himpunan

Himpunan dapat dinyatakan dalam dua bentuk penulisan, yaitu bentuk tabular (tabular form) dan bentuk pencirian (set-builder form). Bentuk tabular adalah penulisan himpunan dengan mendaftar semua anggotanya di dalam tanda kurung kurawal { }. Sebagai contoh,

A = {2, 4, 6, 8, 10}

menyatakan bahwa himpunan A memuat bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10.

Bentuk pencirian adalah penulisan himpunan dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan anggota himpunan tersebut, misalnya

B = { x ½ x nama hari dalam seminggu}.

Jika himpunan B dinyatakan secara tabular, akan diperoleh

B = {Ahad, Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu}

Bentuk pencirian sering juga disebut dengan notasi pembentuk himpunan.

Himpunan dapat memuat himpunan lain sebagai anggota. Sebagai contoh, himpunan

A = { x, {x, y}}

adalah himpunan yang memuat x dan {x, y} sebagai anggota. Sehingga dapat kita tulis x Î A dan {x, y} Î A.

Ada kalanya anggota suatu himpunan tidak ditulis secara lengkap. Tanda ellipsis titik tiga, …, sering digunakan secara informal untuk menyatakan urutan anggota yang tidak ditulis. Sebagai contoh

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

dapat ditulis

{1, 2, 3, …, 12} atau {1, 2, 3, …, 11, 12}.

Secara lebih umum, himpunan dapat dinyatakan sebagai kumpulan semua x yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Notasi

A = { x ½ P(x)}

mendefinisikan A sebagai himpunan semua x yang memenuhi syarat P(x). Notasi tersebut dibaca “A adalah himpunan x sedemikian hingga P(x)”. Sebagai contoh

A = { x ½1 < x < 10}

dibaca “A adalah himpunan x sedemikian hingga 1 < x < 10” .

Perlu diperhatikan, bahwa penulisan

A = { x ½1 < x < 10}

belum memberikan penjelasan apa-apa mengenai anggota himpunan A, sebelum disepakati konteks bilangan yang digunakan. Jika konteks bilangan telah disepakati, maka dapat dikatakan kita menetapkan semesta pembicaraan. Himpunan yang menjadi semesta pembicaraan disebut himpunan semesta dan dinotasikan dengan U.

Jika himpunan semesta U = {1, 2, 3, 4, …}, maka

A = { x ½1 < x < 10} = {2, 3, 4, …, 9}.

Jika U = {2, 4, 6, 8, …}, maka

A = { x ½1 < x < 10} = {2, 4, 6, 8}.

Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong (empty set, void set atau null set) dan dinotasikan dengan Æ atau { }. Perlu diperhatikan bahwa {0} berbeda dengan Æ. Himpunan {0} memuat 0 sebagai anggota, sedangkan Æ tidak memuat anggota. {Æ} juga berbeda dengan Æ, karena {Æ} memuat satu anggota, yaitu Æ. Jadi, {Æ} adalah himpunan yang memuat himpunan kosong sebagai anggota.

Himpunan nabi dengan jenis kelamin perempuan adalah himpunan kosong, karena tidak ada nabi yang berjenis kelamin perempuan. Berikut ini juga merupakan contoh himpunan kosong.

A = Himpunan siswa SMP yang usianya 1 tahun.

B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

C = { x ½x bilangan prima antara 24 dan 28}

Coba berilah contoh himpunan kosong lainnya!

Himpunan yang hanya memuat satu anggota disebut singleton. Sebagai contoh {1}, {a} dan {{x, y}} adalah singleton.

Beberapa hal yang perlu dicatat mengenai himpunan adalah

1. himpunan harus terdefinisi dengan jelas,

2. unsur-unsur yang disebutkan dalam suatu himpunan harus berbeda, dan

3. urutan penyebutan unsur dalam suatu himpunan tidak diperhatikan.

Jadi, selain himpunan tersebut jelas syarat keanggotaannya, ketika himpunan dinyatakan dalam bentuk tabular, maka anggota-anggota dalam suatu himpunan harus disebutkan satu kali. Selain itu, penyebutan urutan anggota dalam himpunan tidak dipermasalahkan, atau boleh dibolak-balik. Sebagai contoh, penulisan berikut adalah benar.

A = {1, 2, 3, 4}

tetapi yang berikut adalah salah

B = {1, 1, 1, 2, 3}.

Himpunan A = {1, 2, 3} dapat juga ditulis A = {2, 1, 3} atau A = {3, 2, 1}. Sekali lagi, urutan anggota dalam himpunan tidak diperhatikan.

Kardinalitas Himpunan

Kardinalitas himpunan A, ditulis n(A), adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan A. Dalam buku lain, kardinalitas himpunan A sering juga disebut ukuran himpunan A dan dinotasikan dengan ½A½.

Jika n(A) = k, maka dapat dikatakan “kardinalitas himpunan A adalah k”, atau “k adalah bilangan kardinal himpunan A”, atau lebih singkatnya “himpunan A mempunyai k anggota”.

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah berhingga (finite) maka A disebut himpunan berhingga (finite set). Jadi, A dikatakan berhingga jika n(A) < ¥. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah tak berhingga (infinite), maka A disebut himpunan tak berhingga (infinite set). Sebagai contoh, himpunan

A = {a, b, c, d, e}

adalah himpunan berhingga dan n(A) = 5.

Himpunan

B = {1, 2, 3, 4, …}

adalah himpunan tak berhingga. Coba berikan contoh himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga lainnya.

Berkaitan dengan himpunan kosong Æ, maka kita peroleh bahwa n(Æ) = 0. Tetapi perlu diingat bahwa 0 Ï Æ.

Relasi Himpunan

Dalam konteks himpunan, terdapat dua relasi, yaitu relasi “himpunan bagian” dan relasi “himpunan sama”. Secara simbolik, kedua relasi tersebut masing-masing dinotasikan dengan Í dan =.

1.3.1 Himpunan Bagian

Jika A adalah himpunan hewan dan B adalah himpunan hewan berkaki dua, maka diperoleh bahwa semua anggota himpunan B tidak lain adalah anggota himpunan A dengan syarat berkaki dua. Ayam adalah anggota himpunan A dan sekaligus anggota himpunan B karena berkaki dua. Kambing adalah anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B karena berkaki empat.

Uraian ini mengarahkan pada konsep himpunan dalam himpunan yang disebut himpunan bagian (subset).

Definisi Himpunan Bagian

Misalkan A dan B himpunan. Himpunan B dikatakan himpunan bagian (subset) dari A, ditulis B Í A, jika setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A.

Tulisan

B Í A

dapat dibaca bahwa B himpunan bagian dari A, B subset A, B termuat di A, A memuat B, atau A superset B. Secara simbolik,

B Í A Û (x Î B Þ x Î A).

Berdasarkan definisi tersebut, jika A adalah sebarang himpunan takkosong, maka diperoleh bahwa

A Í A dan Æ Í A.

Himpunan A selalu memuat dirinya sebagai subset. Selain itu, himpunan A selalu memuat himpunan kosong sebagai subset, mengapa?

Jika B subset A, B bukan himpunan kosong, dan ada anggota di A yang tidak termuat di B, maka B disebut himpunan bagian sejati (proper subset) dari A, dan ditulis

B Ì A.

Seperti pada uraian sebelumnya, jika A adalah himpunan hewan dan B adalah himpunan hewan berkaki dua, maka diperoleh bahwa semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A. Dengan demikian, himpunan B adalah himpunan bagian dari A. Karena kambing adalah anggota himpunan A tetapi bukan anggota himpunan B, maka B adalah himpunan bagian sejati dari A.

Misalkan A dan B himpunan. Himpunan B dikatakan bukan himpunan bagian dari A, ditulis

B Ë A,

jika ada anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A.

Misalkan

A = {1, 2, 3, 4, 5}

dan

B = {2, 4, 6}.

Maka B bukan himpunan bagian dari A karena ada anggota B yang bukan merupakan anggota A, yaitu 6. Jadi dapat kita tulis B Ë A.

Secara umum, notasi

B = { x Î A ½P(x)}

digunakan untuk menyatakan bahwa B memuat semua unsur x di A yang memenuhi syarat P(x). Dengan notasi tersebut, jelas bahwa setiap anggota B haruslah merupakan anggota A atau B Í A. Berikut ini merupakan sifat-sifat yang berkaitan dengan himpunan bagian.

Teorema 1.1

Misalkan A, B, dan C himpunan.