Himpunan
 |
| Materi Himpunan |
Definisi
Himpunan
Himpunan (set) didefinisikan sebagai kumpulan atau
koleksi objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined). Makna
“objek” dalam definisi tersebut sangat luas. Objek dapat berupa objek nyata dan
dapat juga berupa objek abstrak. Objek dapat berbentuk orang, nama orang,
hewan, benda, bilangan, planet, nama hari, atau lainnya. Makna “terdefinisi
dengan jelas” adalah ciri, sifat, atau syarat objek yang dimaksud sangat jelas
dan dapat ditentukan. Dalam arti yang sederhana, dapat dikatakan bahwa jika
kita diminta menunjukkan salah satu anggotanya, maka kita dapat menyebutkannya.
Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut unsur atau anggota himpunan.
Dalam kasus tertentu, suatu kumpulan
objek-objek bukan merupakan himpunan meskipun menggunakan kata himpunan.
Sebagai contoh, himpunan buku-buku tebal. “Himpunan buku-buku tebal” memuat
kata himpunan, tetapi bukan himpunan karena objeknya tidak jelas. Buku
dikatakan tebal jika jumlah halamannya berapa? Apakah tebal itu jika memuat
100, 500, 1000, atau 1000000 halaman?
Untuk mempermudah pemahaman, berikut ini
merupakan contoh himpunan
(1)
Kumpulan nama-nama hari dalam satu minggu.
(2)
Kumpulan huruf Hijaiyah.
(3)
Kumpulan hewan berkaki empat.
(4) Kumpulan
alat transportasi darat.
(5) Kumpulan
malaikat Jibril, Mikail, Isrofil, Azrail,
Munkar, Nakir, Raqib, Atid, Malik, dan Ridwan.
(6) Kumpulan huruf x, y, dan z.
Objek-objek yang disebutkan pada masing-masing
contoh adalah jelas. Seseorang dapat menentukan dengan mudah anggota himpunan
tersebut.
Berikut ini bukan merupakan himpunan, meskipun
menggunakan kata himpunan.
(1)
Himpunan orang berambut pendek.
(2)
Himpunan orang cantik.
(3)
Himpunan buku tipis.
(4)
Himpunan sapi gemuk.
(5)
Himpunan bilangan kecil.
Pada
contoh (1) sampai (5) ini, definisi pendek, cantik, tipis, gemuk dan kecil tidak
terdefinisi dengan jelas atau tidak ada kriteria umum yang disepakati bersama.
Simbol
Himpunan dan Keanggotaan Suatu Himpunan
Himpunan disimbolkan dengan huruf kapital,
seperti A, B, C, atau D, sedangkan anggota himpunan
disimbolkan dengan huruf kecil (lowercase
letters), seperti a, b,
c, atau d.
Jika a adalah anggota himpunan A, maka ditulis
a Î A.
Jadi,
perlu dipahami bahwa tulisan a Î A
mempunyai arti bahwa a anggota
himpunan A, a unsur himpunan A, A memuat a, atau a termuat di A. Jika a bukan anggota himpunan A,
ditulis
a Ï A.
Sebagai
contoh, misalkan A adalah himpunan
huruf vokal dalam alfabet. Maka A
akan memuat huruf a, i, u, e, o. Jadi, dapat kita nyatakan a, i, u, e, o Î A.
Karena b tidak termuat di A maka kita
tulis b Ï A.
 |
| Simbol simbol himpunan |
Menyatakan
Himpunan
Himpunan dapat dinyatakan dalam dua bentuk
penulisan, yaitu bentuk tabular (tabular form) dan bentuk pencirian (set-builder
form). Bentuk tabular adalah penulisan himpunan dengan mendaftar semua
anggotanya di dalam tanda kurung kurawal { }. Sebagai contoh,
A = {2,
4, 6, 8, 10}
menyatakan
bahwa himpunan A memuat bilangan 2,
4, 6, 8, dan 10.
Bentuk
pencirian adalah penulisan himpunan dengan menyebutkan sifat atau syarat
keanggotaan anggota himpunan tersebut, misalnya
B = { x ½ x nama hari dalam seminggu}.
Jika
himpunan B dinyatakan secara tabular,
akan diperoleh
B = {Ahad,
Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jum’at, Sabtu}
Bentuk
pencirian sering juga disebut dengan notasi pembentuk himpunan.
Himpunan dapat memuat himpunan lain
sebagai anggota. Sebagai contoh, himpunan
A = { x, {x,
y}}
adalah himpunan
yang memuat x dan {x, y}
sebagai anggota. Sehingga dapat kita tulis x
Î A dan {x, y} Î A.
Ada kalanya anggota suatu himpunan
tidak ditulis secara lengkap. Tanda ellipsis titik tiga, …, sering digunakan
secara informal untuk menyatakan urutan anggota yang tidak ditulis. Sebagai
contoh
A = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}
dapat
ditulis
{1, 2, 3, …, 12} atau {1, 2, 3, …, 11, 12}.
Secara
lebih umum, himpunan dapat dinyatakan sebagai kumpulan semua x yang memenuhi syarat-syarat yang
ditentukan. Notasi
A = { x ½ P(x)}
mendefinisikan A sebagai himpunan semua x yang memenuhi syarat P(x).
Notasi tersebut dibaca “A adalah
himpunan x sedemikian hingga P(x)”.
Sebagai contoh
A = { x ½1 < x < 10}
dibaca “A adalah himpunan x sedemikian hingga 1 < x
< 10” .
Perlu diperhatikan, bahwa penulisan
A = { x ½1 < x < 10}
belum
memberikan penjelasan apa-apa mengenai anggota himpunan A, sebelum disepakati
konteks bilangan yang digunakan. Jika konteks bilangan telah disepakati, maka
dapat dikatakan kita menetapkan semesta pembicaraan. Himpunan yang menjadi
semesta pembicaraan disebut himpunan
semesta dan dinotasikan dengan U.
Jika himpunan semesta U = {1, 2, 3, 4, …}, maka
A = { x ½1 < x < 10} = {2, 3, 4, …, 9}.
Jika U = {2, 4, 6, 8, …}, maka
A = { x ½1 < x < 10} = {2, 4, 6, 8}.
Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong (empty set, void set atau null set) dan dinotasikan dengan Æ atau { }. Perlu diperhatikan bahwa {0} berbeda
dengan Æ. Himpunan {0} memuat 0 sebagai
anggota, sedangkan Æ tidak
memuat anggota. {Æ} juga
berbeda dengan Æ, karena
{Æ} memuat satu anggota, yaitu Æ. Jadi, {Æ} adalah
himpunan yang memuat himpunan kosong sebagai anggota.
Himpunan nabi dengan jenis kelamin perempuan
adalah himpunan kosong, karena tidak ada nabi yang berjenis kelamin perempuan. Berikut
ini juga merupakan contoh himpunan kosong.
A =
Himpunan siswa SMP yang usianya 1 tahun.
B =
Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
C = { x ½x bilangan prima antara 24 dan
28}
Coba
berilah contoh himpunan kosong lainnya!
Himpunan yang hanya memuat satu anggota disebut
singleton. Sebagai contoh {1}, {a} dan {{x, y}} adalah singleton.
Beberapa hal yang perlu dicatat mengenai
himpunan adalah
1.
himpunan harus terdefinisi dengan jelas,
2.
unsur-unsur yang disebutkan dalam suatu
himpunan harus berbeda, dan
3.
urutan penyebutan unsur dalam suatu himpunan
tidak diperhatikan.
Jadi,
selain himpunan tersebut jelas syarat keanggotaannya, ketika himpunan
dinyatakan dalam bentuk tabular, maka anggota-anggota dalam suatu himpunan
harus disebutkan satu kali. Selain itu, penyebutan urutan anggota dalam
himpunan tidak dipermasalahkan, atau boleh dibolak-balik. Sebagai contoh,
penulisan berikut adalah benar.
A = {1,
2, 3, 4}
tetapi
yang berikut adalah salah
B = {1, 1,
1, 2, 3}.
Himpunan
A = {1, 2, 3} dapat juga ditulis A = {2, 1, 3} atau A = {3, 2, 1}. Sekali lagi, urutan anggota dalam himpunan tidak
diperhatikan.
Kardinalitas
Himpunan
Kardinalitas
himpunan A, ditulis n(A),
adalah bilangan yang menyatakan banyaknya anggota himpunan A. Dalam buku lain, kardinalitas himpunan A sering juga disebut ukuran himpunan A dan dinotasikan dengan ½A½.
Jika n(A) = k,
maka dapat dikatakan “kardinalitas himpunan A
adalah k”, atau “k adalah bilangan kardinal himpunan A”, atau lebih singkatnya “himpunan A mempunyai k anggota”.
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah berhingga (finite) maka A disebut himpunan berhingga (finite set). Jadi, A
dikatakan berhingga jika n(A) < ¥. Jika banyaknya anggota himpunan A adalah tak berhingga (infinite), maka A disebut himpunan tak berhingga
(infinite set). Sebagai contoh,
himpunan
A = {a, b,
c, d, e}
adalah
himpunan berhingga dan n(A) = 5.
Himpunan
B = {1,
2, 3, 4, …}
adalah
himpunan tak berhingga. Coba berikan contoh himpunan berhingga dan himpunan tak
berhingga lainnya.
Berkaitan dengan himpunan kosong Æ, maka kita peroleh bahwa n(Æ) = 0. Tetapi perlu diingat
bahwa 0 Ï Æ.
Relasi Himpunan
Dalam konteks himpunan, terdapat dua
relasi, yaitu relasi “himpunan bagian”
dan relasi “himpunan sama”. Secara
simbolik, kedua relasi tersebut masing-masing dinotasikan dengan Í dan =.
1.3.1
Himpunan
Bagian
Jika A
adalah himpunan hewan dan B adalah
himpunan hewan berkaki dua, maka diperoleh bahwa semua anggota himpunan B tidak lain adalah anggota himpunan A dengan syarat berkaki dua. Ayam adalah
anggota himpunan A dan sekaligus
anggota himpunan B karena berkaki
dua. Kambing adalah anggota himpunan A
tetapi bukan anggota himpunan B
karena berkaki empat.
Uraian
ini mengarahkan pada konsep himpunan dalam himpunan yang disebut himpunan
bagian (subset).
Definisi Himpunan
Bagian
Misalkan A
dan B himpunan. Himpunan B dikatakan himpunan bagian (subset)
dari A, ditulis B Í A, jika setiap anggota himpunan B
juga merupakan anggota himpunan A.
Tulisan
B Í A
dapat dibaca
bahwa B himpunan bagian dari A, B
subset A, B termuat di A, A memuat B, atau A superset B. Secara simbolik,
B Í A Û (x Î B Þ x Î A).
Berdasarkan definisi tersebut, jika A adalah sebarang himpunan takkosong,
maka diperoleh bahwa
A Í A dan Æ Í A.
Himpunan
A selalu memuat dirinya sebagai
subset. Selain itu, himpunan A selalu
memuat himpunan kosong sebagai subset, mengapa?
Jika B
subset A, B bukan himpunan kosong, dan ada anggota di A yang tidak termuat di B,
maka B disebut himpunan bagian sejati (proper
subset) dari A, dan ditulis
B Ì A.
Seperti
pada uraian sebelumnya, jika A adalah
himpunan hewan dan B adalah himpunan
hewan berkaki dua, maka diperoleh bahwa semua anggota himpunan B adalah anggota himpunan A. Dengan demikian, himpunan B adalah himpunan bagian dari A. Karena kambing adalah anggota
himpunan A tetapi bukan anggota
himpunan B, maka B adalah himpunan bagian sejati dari A.
Misalkan
A dan B himpunan. Himpunan B
dikatakan bukan himpunan bagian dari A,
ditulis
B Ë A,
jika ada anggota himpunan B yang bukan anggota himpunan A.
Misalkan
A = {1,
2, 3, 4, 5}
dan
B = {2,
4, 6}.
Maka B bukan himpunan bagian dari A karena ada anggota B yang bukan merupakan anggota A, yaitu 6. Jadi dapat kita tulis B Ë A.
Secara umum, notasi
B = { x Î A ½P(x)}
digunakan
untuk menyatakan bahwa B memuat semua
unsur x di A
yang memenuhi syarat P(x). Dengan notasi tersebut, jelas bahwa
setiap anggota B haruslah merupakan
anggota A atau B Í A. Berikut ini merupakan sifat-sifat yang berkaitan dengan himpunan
bagian.
Teorema 1.1
Misalkan
A, B, dan C himpunan.
- Jika A
Í B dan B Í C, maka A Í C
- Jika A
Í B dan B Ì C, maka A Ì C
- Jika A
Ì B dan B Í C, maka A Ì C
- Jika A
Ì B dan B Ì C, maka A Ì C
Bukti
a.
Diketahui bahwa A Í B dan B Í C.
Akan ditunjukkan bahwa A Í C,
artinya jika x Î A,
maka x Î C.
Ambil x Î A, karena A Í B maka x Î B.
Karena B Í C,
maka x Î C.
Jadi,
jika x Î A, maka x Î C.
Sesuai
definisi himpunan bagian, terbukti bahwa A
Í C.
Bukti bagian b, c, dan d diserahkan kepada pembaca sebagai latihan
ConversionConversion EmoticonEmoticon